FANDOM


DefinitionBearbeiten

Sei f \in L^1(\mathbb{R}^n). Dann ist die Fouriertransformation definiert durch:

 (\mathcal{F} f )(\xi) :=  \frac{ 1 }{ (2\pi)^{ \frac{n}{2} } } \int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-ix\xi}\, dx

wobei \xi \in \mathbb{R}^n und x\xi := \langle x,\xi \rangle.

BemerkungBearbeiten

Die Fouriertransformation  \mathcal{F}f ist wohldefiniert, da f(x)e^{-ix\xi} \in L^1(\mathbb{R}^n) .

SatzBearbeiten

  1.  f \in L^1(\mathbb{R}^n) \Rightarrow (\mathcal{F}f) \in C_0(\mathbb{R}^n).
  2.  \mathcal{F}:L_1(\mathbb{R}^n) \longrightarrow C_0(\mathbb{R}^n) ist stetig mit  \Vert \mathcal{F} \Vert \leq (2 \pi)^{\frac{-n}{2}}

Hierbei ist C_0(\mathbb{R}^n)der Raum der Funktionen, die im Unendlichen verschwinden. Er ist definiert durch: C_0(\mathbb{R}^n) = (\{f:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{C}: f \text{ stetig und }\lim_{\Vert \xi \Vert \to \infty} (\mathcal{F}f)(\xi) = 0\},\Vert \cdot \Vert_\infty).

BeweisideeBearbeiten

Zu 1: ?

Zu 2: Verwende Charakterisierung von Stetigkeit für Operatoren.

DefinitionBearbeiten

Eine Funktion f:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{C} heißt schnell fallend, falls für alle \alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{N}_0^n gilt, dass \lim_{\Vert x \Vert \to \infty} x^\alpha f(x) = \lim_{\Vert x \Vert \to \infty} x_1^{\alpha_1} \ldots x_n^{\alpha_n} f(x) = 0.

Störung durch Adblocker erkannt!


Wikia ist eine gebührenfreie Seite, die sich durch Werbung finanziert. Benutzer, die Adblocker einsetzen, haben eine modifizierte Ansicht der Seite.

Wikia ist nicht verfügbar, wenn du weitere Modifikationen in dem Adblocker-Programm gemacht hast. Wenn du sie entfernst, dann wird die Seite ohne Probleme geladen.

Auch bei FANDOM

Zufälliges Wiki